Álgebra Lineal y Geometría

Acerca de este curso

Álgebra Lineal y Geometría es un curso esencial que aporta las bases de la modelización matemática y la ingeniería. Cubre sistemas lineales y matrices, determinantes, espacios vectoriales (con bases, dimensión y cambio de base), transformaciones lineales y su representación, y el espectro de un operador (autovalores, diagonalización y forma de Jordan); además, producto escalar y teorema espectral, formas cuadráticas y nociones de condicionamiento numérico.

Las lecciones son breves y autocontenidas, pensadas para vídeo y estudio guiado, con progreso claro. El objetivo es una base sólida que permita abordar con seguridad cálculo numérico, matemáticas aplicadas e ingeniería.

Resolver sistemas lineales con Gauss/Gauss–Jordan y comprender Rouché–Frobenius.
Dominar matrices, inversa y determinantes, junto a su interpretación geométrica.
Manejar espacios vectoriales: independencia, bases, dimensión y cambio de base.
Entender aplicaciones lineales: núcleo, imagen, teorema rango–nulidad y representación; cambio de base del operador.
Analizar el espectro: autovalores, diagonalización y forma de Jordan.
Trabajar con producto escalar, Gram–Schmidt y QR; aplicar teorema espectral y formas cuadráticas con criterio numérico.

Contenido del curso

Módulo 1: Sistemas lineales y notación matricial
Punto de partida computacional: resolver sistemas y entender la notación.

Lección 1.1: Sistemas de ecuaciones lineales y modelos básicos
Lección 1.2: Operaciones elementales y forma escalonada (Gauss)
Lección 1.3: Teorema de Rouché–Frobenius e interpretación geométrica
Lección 1.4: Soluciones paramétricas y espacios de soluciones

Módulo 2: Álgebra de matrices (lo esencial que usarás siempre)
Operar con matrices de forma segura y eficaz.

Módulo 3: Determinantes y sus ideas clave
De herramienta de cálculo a significado geométrico.

Acerca de este curso

¿Qué aprenderás?

Contenido del curso

Módulo 1: Sistemas lineales y notación matricial Punto de partida computacional: resolver sistemas y entender la notación.

Lección 1.1: Sistemas de ecuaciones lineales y modelos básicos

Lección 1.2: Operaciones elementales y forma escalonada (Gauss)

Lección 1.3: Teorema de Rouché–Frobenius e interpretación geométrica

Lección 1.4: Soluciones paramétricas y espacios de soluciones

Módulo 2: Álgebra de matrices (lo esencial que usarás siempre) Operar con matrices de forma segura y eficaz.

Lección 2.1: Operaciones, matrices especiales y bloques

Lección 2.2: Inversa y ecuaciones matriciales (AX = B)

Lección 2.3: Matrices elementales y eliminación de Gauss–Jordan

Lección 2.4: Coste computacional y buenas prácticas

Módulo 3: Determinantes y sus ideas clave De herramienta de cálculo a significado geométrico.

Lección 3.1: Definiciones equivalentes y cofactores

Lección 3.2: Propiedades útiles y cálculo eficiente

Lección 3.3: Invertibilidad, Cramer y aplicaciones puntuales

Lección 3.4: Interpretación geométrica (área/volumen y orientación)

Módulo 4: Espacios vectoriales (I): estructura básica El lenguaje unificador del curso.

Lección 4.1: Definición, ejemplos y subespacios

Lección 4.2: Combinación lineal, generación y span

Lección 4.3: Independencia lineal (criterios prácticos)

Lección 4.4: Ejemplos canónicos: R^n, polinomios y matrices

Módulo 5: Espacios vectoriales (II): bases, dimensión y cambio de base El “álgebra” de las coordenadas; aquí va el primer cambio de base.

Lección 5.1: Bases y dimensión; teorema de la base

Lección 5.2: Suma de subespacios, suma directa y descomposiciones

Lección 5.3: Coordenadas respecto a una base y matriz de cambio de base

Lección 5.4: Estrategias para construir buenas bases

Módulo 6: Aplicaciones lineales y su representación Puente entre estructura y cómputo; cambio de base del operador incluido.

Lección 6.1: Definición, ejemplos y propiedades

Lección 6.2: Núcleo e imagen; rango y nulidad (rango–nulidad)

Lección 6.3: Representación matricial y cambio de base del operador

Lección 6.4: Composición e inversa; operadores y restricciones

Módulo 7: Autovalores y diagonalización Espectro, condiciones de diagonalización y usos.

Lección 7.1: Polinomio característico, autovectores y autovalores

Lección 7.2: Multiplicidades y criterios de diagonalización

Lección 7.3: Dinámica discreta y potencias de matrices

Lección 7.4: Limitaciones: cuando no se puede diagonalizar

Módulo 8: Forma de Jordan (nivel operativo) Qué hacer cuando la diagonalización falla.

Lección 8.1: Subespacios cíclicos y bloques de Jordan

Lección 8.2: Cálculo práctico de la forma de Jordan

Lección 8.3: Aplicaciones básicas (por ejemplo, e^{At} y simplificaciones)

Módulo 9: Producto escalar y geometría euclídea Ortogonalidad, proyecciones y bases “buenas”.

Lección 9.1: Productos escalares, normas y ángulos

Lección 9.2: Proyecciones y descomposiciones ortogonales

Lección 9.3: Gram–Schmidt y bases ortonormales

Lección 9.4: Descomposición QR (visión conceptual y operativa)

Módulo 10: Operadores simétricos y teorema espectral El caso mejor condicionado geométricamente.

Lección 10.1: Matrices/operadores simétricos y propiedades

Lección 10.2: Teorema espectral: diagonalización ortogonal

Lección 10.3: Mínimos cuadrados lineales y proyecciones

Lección 10.4: Relación con SVD (visión introductoria)

Módulo 11: Formas cuadráticas y clasificación Firma, definitud y aplicaciones a optimización y geometría.

Lección 11.1: Definición, matriz asociada y cambio de base

Lección 11.2: Reducción ortogonal; firma y definitud

Lección 11.3: Optimización cuadrática (condiciones y ejemplos)

Lección 11.4: Cónicas y cuádricas: lectura geométrica

Módulo 12: Condicionamiento y estabilidad (cierre práctico) Buenas prácticas numéricas que todo usuario de álgebra debe conocer.

Lección 12.1: Condicionamiento de problemas lineales y número de condición

Lección 12.2: Estabilidad de los algoritmos (Gauss, QR)

Lección 12.3: Sistemas sobredeterminados: mínimos cuadrados y QR

Lección 12.4: Errores típicos y guía de elección de método

Resources

Módulo 1: Sistemas lineales y notación matricial
Punto de partida computacional: resolver sistemas y entender la notación.

Módulo 2: Álgebra de matrices (lo esencial que usarás siempre)
Operar con matrices de forma segura y eficaz.

Módulo 3: Determinantes y sus ideas clave
De herramienta de cálculo a significado geométrico.

Módulo 4: Espacios vectoriales (I): estructura básica
El lenguaje unificador del curso.

Módulo 5: Espacios vectoriales (II): bases, dimensión y cambio de base
El “álgebra” de las coordenadas; aquí va el primer cambio de base.

Módulo 6: Aplicaciones lineales y su representación
Puente entre estructura y cómputo; cambio de base del operador incluido.

Módulo 7: Autovalores y diagonalización
Espectro, condiciones de diagonalización y usos.

Módulo 8: Forma de Jordan (nivel operativo)
Qué hacer cuando la diagonalización falla.

Módulo 9: Producto escalar y geometría euclídea
Ortogonalidad, proyecciones y bases “buenas”.

Módulo 10: Operadores simétricos y teorema espectral
El caso mejor condicionado geométricamente.

Módulo 11: Formas cuadráticas y clasificación
Firma, definitud y aplicaciones a optimización y geometría.

Módulo 12: Condicionamiento y estabilidad (cierre práctico)
Buenas prácticas numéricas que todo usuario de álgebra debe conocer.