Análisis Matemático

Acerca de este curso

Análisis Matemático cubre con rigor y enfoque aplicado el análisis en una y varias variable. A lo largo del curso se estudian de forma ordenada los grandes bloques: límites y continuidad, derivadas y teoremas diferenciales, sucesiones y series, integrales con sus técnicas y aplicaciones geométricas y físicas, así como polinomios y series de Taylor.

Cada lección es breve y autocontenida, lo que permite avanzar con vídeos cortos y progresivos. El objetivo es asentar una base sólida que prepare al estudiante para afrontar con seguridad asignaturas posteriores como Ecuaciones Diferenciales y Métodos Numéricos.

Dominar el concepto formal de límite y continuidad y aplicarlo en problemas reales.
Derivar funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas y usar los teoremas de Rolle y del valor medio.
Analizar funciones con derivadas: monotonía, extremos, concavidad y asímptotas; esbozar gráficas con criterio.
Integrar funciones con cambio de variable, partes, fracciones parciales, técnicas trigonométricas y resolver integrales impropias.
Aplicar la integral a áreas, volúmenes, longitudes de arco, superficies de revolución y centros de masa.
Aproximar funciones mediante polinomios y series de Taylor, controlando el error de aproximación.

Contenido del curso

Módulo 1: Números, funciones y repaso preuniversitario
Nivelación inicial: números reales, desigualdades y funciones elementales. Conecta la notación y propiedades básicas con el lenguaje del análisis.

Lección 1.1: Conjuntos numéricos y desigualdades
Lección 1.2: Valor absoluto y propiedades
Lección 1.3: Funciones reales: concepto y representación
Lección 1.4: Funciones elementales (polinomios, racionales, exp-log, trig.)
Lección 1.5: Composición e inversa de funciones

Módulo 2: Límites: conceptos y técnicas básicas
Construcción del concepto de límite (intuitivo y formal), reglas de cálculo y técnicas para indeterminaciones y límites al infinito.

Módulo 3: Continuidad
Caracterización de la continuidad y estudio de discontinuidades. Teoremas de continuidad y resolución de problemas típicos.

Módulo 4: Sucesiones
Sucesiones como herramienta para límites y series: convergencia, monotonicidad, acotación y límites notables.

Módulo 5: Series numéricas
Suma infinita y convergencia: criterios y series especiales. Bases para series de potencias y Taylor.

Módulo 6: Derivada: concepto y reglas
Definición de derivada, interpretación geométrica y reglas de derivación en funciones elementales.

Módulo 7: Teoremas fundamentales y L’Hopital
Rolle y valor medio como resultados clave, más la regla de L'Hopital para resolver indeterminaciones.

Módulo 8: Estudio de funciones con derivadas
Herramientas para analizar y esbozar funciones: extremos, concavidad, asímptotas y esquema de estudio completo.

Módulo 9: Aproximación y Newton-Raphson
Aproximaciones lineales y método de Newton-Raphson con control de error y aplicaciones prácticas.

Módulo 10: Integral de Riemann y Teorema Fundamental
Construcción de la integral definida y su vínculo con las primitivas a través del Teorema Fundamental del Cálculo.

Módulo 11: Técnicas de integración (I)
Técnicas universales: sustitución y partes, con estrategias de elección y uso de simetrías.

Módulo 12: Técnicas de integración (II)
Fracciones parciales y técnicas trigonométricas; repertorio de sustituciones para raíces cuadráticas.

Módulo 13: Integrales impropias y convergencia
Tratamiento de integrales en intervalos infinitos o con singularidades y sus criterios de convergencia.

Módulo 14: Aplicaciones de la integral
Aplicaciones geométricas y físicas: áreas, volúmenes, longitudes de arco, superficies de revolución y centroides.

Módulo 15: Polinomios y series de Taylor
Aproximación de funciones mediante polinomios de Taylor y series de potencias, con control del error.

Acerca de este curso

¿Qué aprenderás?

Contenido del curso

Módulo 1: Números, funciones y repaso preuniversitario Nivelación inicial: números reales, desigualdades y funciones elementales. Conecta la notación y propiedades básicas con el lenguaje del análisis.

Lección 1.1: Conjuntos numéricos y desigualdades

Lección 1.2: Valor absoluto y propiedades

Lección 1.3: Funciones reales: concepto y representación

Lección 1.4: Funciones elementales (polinomios, racionales, exp-log, trig.)

Lección 1.5: Composición e inversa de funciones

Módulo 2: Límites: conceptos y técnicas básicas Construcción del concepto de límite (intuitivo y formal), reglas de cálculo y técnicas para indeterminaciones y límites al infinito.

Lección 2.1: Definición intuitiva de límite

Lección 2.2: Definición formal (epsilon-delta)

Lección 2.3: Propiedades y límites laterales

Lección 2.4: Indeterminaciones 0/0: factorización

Lección 2.5: Indeterminaciones 0/0: racionalización

Lección 2.6: Límites al infinito y asíntotas horizontales/verticales

Módulo 3: Continuidad Caracterización de la continuidad y estudio de discontinuidades. Teoremas de continuidad y resolución de problemas típicos.

Lección 3.1: Continuidad en un punto y en un intervalo

Lección 3.2: Tipos de discontinuidad

Lección 3.3: Teoremas de continuidad (valor intermedio, Weierstrass)

Lección 3.4: Problemas prácticos de continuidad

Módulo 4: Sucesiones Sucesiones como herramienta para límites y series: convergencia, monotonicidad, acotación y límites notables.

Lección 4.1: Definición y ejemplos básicos

Lección 4.2: Convergencia, monotonicidad y acotación

Lección 4.3: Criterios de convergencia de sucesiones

Lección 4.4: Sucesiones definidas recursivamente

Lección 4.5: Límites notables de sucesiones

Módulo 5: Series numéricas Suma infinita y convergencia: criterios y series especiales. Bases para series de potencias y Taylor.

Lección 5.1: Definición y ejemplos básicos

Lección 5.2: Convergencia y convergencia absoluta

Lección 5.3: Criterios de comparación y del cociente

Lección 5.4: Criterio de la raíz e integral

Lección 5.5: Series alternadas y criterio de Leibniz

Lección 5.6: Series especiales (geométrica, armónica, p-series)

Módulo 6: Derivada: concepto y reglas Definición de derivada, interpretación geométrica y reglas de derivación en funciones elementales.

Lección 6.1: Definición de derivada y significado geométrico

Lección 6.2: Derivadas de polinomios y funciones racionales

Lección 6.3: Derivadas de funciones exp-log

Lección 6.4: Derivadas de funciones trigonométricas

Lección 6.5: Derivadas de orden superior

Módulo 7: Teoremas fundamentales y L’Hopital Rolle y valor medio como resultados clave, más la regla de L'Hopital para resolver indeterminaciones.

Lección 7.1: Teorema de Rolle

Lección 7.2: Teorema del valor medio (Lagrange y Cauchy)

Lección 7.3: Regla de L’Hopital (caso 0/0)

Lección 7.4: Regla de L’Hopital (casos inf/inf y otras formas)

Módulo 8: Estudio de funciones con derivadas Herramientas para analizar y esbozar funciones: extremos, concavidad, asímptotas y esquema de estudio completo.

Lección 8.1: Monotonía y extremos relativos

Lección 8.2: Extremos absolutos y cotas

Lección 8.3: Concavidad y puntos de inflexión

Lección 8.4: Asímptotas y comportamiento al infinito

Lección 8.5: Esquema completo de estudio de funciones

Módulo 9: Aproximación y Newton-Raphson Aproximaciones lineales y método de Newton-Raphson con control de error y aplicaciones prácticas.

Lección 9.1: Aproximaciones lineales y diferenciales

Lección 9.2: Método de Newton-Raphson: teoría

Lección 9.3: Ejemplos numéricos con Newton-Raphson

Lección 9.4: Convergencia y control del error

Módulo 10: Integral de Riemann y Teorema Fundamental Construcción de la integral definida y su vínculo con las primitivas a través del Teorema Fundamental del Cálculo.

Lección 10.1: Sumas de Riemann

Lección 10.2: Integral definida: propiedades básicas

Lección 10.3: Primitivas y antiderivadas

Lección 10.4: Teorema Fundamental del Cálculo

Lección 10.5: Ejemplos básicos de cálculo de integrales definidas

Módulo 11: Técnicas de integración (I) Técnicas universales: sustitución y partes, con estrategias de elección y uso de simetrías.

Lección 11.1: Cambio de variable (sustitución)

Lección 11.2: Integración por partes

Lección 11.3: Integración de funciones simétricas

Lección 11.4: Estrategias de elección de técnica

Módulo 12: Técnicas de integración (II) Fracciones parciales y técnicas trigonométricas; repertorio de sustituciones para raíces cuadráticas.

Lección 12.1: Fracciones parciales (caso simple)

Lección 12.2: Fracciones parciales (caso general)

Lección 12.3: Integrales trigonométricas

Lección 12.4: Sustituciones trigonométricas

Lección 12.5: Integrales con raíces cuadráticas

Módulo 13: Integrales impropias y convergencia Tratamiento de integrales en intervalos infinitos o con singularidades y sus criterios de convergencia.

Lección 13.1: Integrales impropias en intervalos infinitos

Lección 13.2: Integrales impropias con singularidades

Lección 13.3: Criterios de convergencia de integrales impropias

Lección 13.4: Conexión con series

Módulo 14: Aplicaciones de la integral Aplicaciones geométricas y físicas: áreas, volúmenes, longitudes de arco, superficies de revolución y centroides.

Lección 14.1: Áreas entre curvas