Ecuaciones Diferenciales

Acerca de este curso

Ecuaciones Diferenciales es un curso universitario centrado en la modelización y la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y de sistemas lineales. Se estudian los principales métodos: ecuaciones de primer orden, ecuaciones lineales de orden superior, transformada de Laplace, series de potencias y método de Frobenius, así como métodos numéricos y análisis cualitativo.

Cada lección es breve y autocontenida, pensada para el formato en vídeo y un estudio guiado y progresivo. El objetivo es dotar al estudiante de una base sólida en ecuaciones diferenciales que facilite afrontar con éxito materias avanzadas de matemáticas aplicadas e ingeniería.

Modelar sistemas reales y traducirlos a EDO (PVIs/PVC) con criterios físicos y dimensionales.
Resolver EDO de primer orden: separables, lineales, exactas y casos clásicos (Bernoulli, Riccati tratables).
Dominar EDO lineales de orden superior con coeficientes constantes y técnicas de forzamiento.
Plantear y resolver sistemas lineales, analizar estabilidad y retratos de fase.
Aplicar transformada de Laplace y series de potencias/Frobenius a problemas prototípicos.
Usar métodos numéricos y análisis cualitativo; comprender problemas de contorno y el puente a EDP.

Contenido del curso

Módulo 1: Modelización y conceptos básicos
El papel de las EDO en la modelización y el lenguaje estándar (PVIs, PVC, linealidad, orden).

Lección 1.1: ¿Qué es una EDO? orden, linealidad, PVI vs PVC
Lección 1.2: Modelos básicos: crecimiento/decaimiento, mezcla, caída con rozamiento
Lección 1.3: Campos de pendientes y solución integral
Lección 1.4: Dimensión y análisis de unidades en modelos

Módulo 2: EDO de primer orden (I): separables y lineales
Métodos elementales más frecuentes en ingeniería para primer orden.

Módulo 3: EDO de primer orden (II): técnicas y casos especiales
Ampliación práctica para cubrir familias habituales de problemas de primer orden.

Módulo 4: Existencia, unicidad y dependencia continua
Fundamentos teóricos mínimos para aplicar los métodos con rigor.

Módulo 5: EDO lineales de 2.º orden
Núcleo clásico con coeficientes constantes, forzamientos y aplicaciones físicas.

Módulo 6: EDO lineales de orden n y Euler–Cauchy
Extensión de técnicas, reducción de orden y ecuaciones de tipo Euler–Cauchy.

Módulo 7: Sistemas lineales de 1.º orden (I): forma matricial
Planteamiento matricial, matrices fundamentales y herramientas lineales.

Módulo 8: Sistemas lineales de 1.º orden (II): Jordan y cualitativa
Casos no diagonalizables, estabilidad lineal y retratos de fase en 2D.

Módulo 9: Transformada de Laplace
Herramienta estándar para resolver EDO/sistemas con entradas por tramos e impulsos.

Módulo 10: Series de potencias y método de Frobenius
Soluciones locales en torno a puntos ordinarios y singulares regulares.

Módulo 11: Análisis cualitativo y estabilidad no lineal
Herramientas para entender dinámica sin solución cerrada.

Módulo 12: Métodos numéricos para EDO
Esquemas prácticos de integración temporal y control de error.

Módulo 13: Problemas de contorno y Sturm–Liouville
Marco mínimo para vibraciones y calor vía separación de variables (puente a EDP/Fourier).

Módulo 14: Estudios de caso interdisciplinares
Aplicaciones integradas que reúnen varias técnicas del curso.

Acerca de este curso

¿Qué aprenderás?

Contenido del curso

Módulo 1: Modelización y conceptos básicos El papel de las EDO en la modelización y el lenguaje estándar (PVIs, PVC, linealidad, orden).

Lección 1.1: ¿Qué es una EDO? orden, linealidad, PVI vs PVC

Lección 1.2: Modelos básicos: crecimiento/decaimiento, mezcla, caída con rozamiento

Lección 1.3: Campos de pendientes y solución integral

Lección 1.4: Dimensión y análisis de unidades en modelos

Módulo 2: EDO de primer orden (I): separables y lineales Métodos elementales más frecuentes en ingeniería para primer orden.

Lección 2.1: Variables separadas (logística, enfriamiento)

Lección 2.2: Lineales de 1.º orden y factor integrante

Lección 2.3: Ecuaciones homogéneas y cambio y = v x

Lección 2.4: Ecuaciones exactas y factor integrante por criterios

Módulo 3: EDO de primer orden (II): técnicas y casos especiales Ampliación práctica para cubrir familias habituales de problemas de primer orden.

Lección 3.1: Bernoulli y Riccati (casos tratables)

Lección 3.2: Clairaut y Lagrange

Lección 3.3: Sustituciones útiles (racionales, trigonométricas, exponenciales)

Lección 3.4: Modelos con discontinuidades o entradas por tramos

Módulo 4: Existencia, unicidad y dependencia continua Fundamentos teóricos mínimos para aplicar los métodos con rigor.

Lección 4.1: Teorema de Picard–Lindelöf (visión operativa)

Lección 4.2: Intervalo máximo de existencia y explosiones

Lección 4.3: Dependencia continua respecto a datos

Lección 4.4: Consecuencias prácticas y contraejemplos

Módulo 5: EDO lineales de 2.º orden Núcleo clásico con coeficientes constantes, forzamientos y aplicaciones físicas.

Lección 5.1: Homogéneas con coeficientes constantes (raíces reales/complejas/múltiples)

Lección 5.2: No homogéneas: coeficientes indeterminados

Lección 5.3: No homogéneas: variación de parámetros

Lección 5.4: Modelo masa–resorte–amortiguamiento y circuitos RLC

Módulo 6: EDO lineales de orden n y Euler–Cauchy Extensión de técnicas, reducción de orden y ecuaciones de tipo Euler–Cauchy.

Lección 6.1: Reducción de orden cuando se conoce una solución

Lección 6.2: Lineales de orden n con coeficientes constantes

Lección 6.3: Ecuación de Euler–Cauchy (cambios potencias/log)

Lección 6.4: Principio de superposición y estructura del espacio solución

Módulo 7: Sistemas lineales de 1.º orden (I): forma matricial Planteamiento matricial, matrices fundamentales y herramientas lineales.

Lección 7.1: Forma x’ = A x + g(t); matriz fundamental

Lección 7.2: Autovalores y autovectores; diagonalización

Lección 7.3: Solución de sistemas homogéneos con coeficientes constantes

Lección 7.4: Respuesta al forzamiento (convolución matricial)

Módulo 8: Sistemas lineales de 1.º orden (II): Jordan y cualitativa Casos no diagonalizables, estabilidad lineal y retratos de fase en 2D.

Lección 8.1: Forma de Jordan y solución general

Lección 8.2: Estabilidad, nodos, focos y sillas (2D)

Lección 8.3: Sistemas no autónomos y periodicidad (apuntes)

Lección 8.4: Linealización y aproximación local

Módulo 9: Transformada de Laplace Herramienta estándar para resolver EDO/sistemas con entradas por tramos e impulsos.

Lección 9.1: Definición, existencia y propiedades básicas

Lección 9.2: Desplazamientos, escalones y señales por tramos

Lección 9.3: Delta de Dirac y sistemas con impulsos

Lección 9.4: EDO y sistemas lineales vía Laplace (resolución sistemática)

Módulo 10: Series de potencias y método de Frobenius Soluciones locales en torno a puntos ordinarios y singulares regulares.

Lección 10.1: Series de potencias en puntos ordinarios

Lección 10.2: Frobenius: caso raíz simple

Lección 10.3: Frobenius: raíz doble y términos logarítmicos

Lección 10.4: Funciones especiales típicas (Bessel/Legendre, visión básica)

Módulo 11: Análisis cualitativo y estabilidad no lineal Herramientas para entender dinámica sin solución cerrada.

Lección 11.1: Sistemas autónomos en el plano: isoclinas y retratos

Lección 11.2: Puntos críticos y estabilidad (Jacobiano)

Lección 11.3: Diagramas de bifurcación simples (logística, predador–presa)

Lección 11.4: Límites del análisis lineal: ejemplos y cautelas

Módulo 12: Métodos numéricos para EDO Esquemas prácticos de integración temporal y control de error.

Lección 12.1: Euler y Euler mejorado; error local y global

Lección 12.2: Runge–Kutta clásicos (RK2/RK4)

Lección 12.3: Métodos multipaso (Adams–Bashforth/Moulton)

Lección 12.4: Estabilidad numérica y elección de paso

Módulo 13: Problemas de contorno y Sturm–Liouville Marco mínimo para vibraciones y calor vía separación de variables (puente a EDP/Fourier).

Lección 13.1: Problemas de contorno vs. de valor inicial

Lección 13.2: Operadores autoadjuntos y ortogonalidad

Lección 13.3: Problemas de Sturm–Liouville (visión aplicada)

Lección 13.4: Conexión con series de Fourier y EDP clásicas

Módulo 14: Estudios de caso interdisciplinares Aplicaciones integradas que reúnen varias técnicas del curso.

Lección 14.1: Mecánica: oscilaciones forzadas y resonancia

Lección 14.2: Electricidad: circuitos RC/RL/RLC con escalones e impulsos

Lección 14.3: Química/biomedicina: cinética y compartimentos

Lección 14.4: Control y Señales: respuesta temporal y filtros simples

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