Matemáticas II – Numbersity

Acerca de este curso

Matemáticas II profundiza en el análisis multivariable, abordando de forma estructurada los temas fundamentales: funciones de varias variables, derivadas parciales, extremos y optimización, integrales múltiples, integrales de línea y de superficie, junto con los teoremas integrales de Green, Stokes y Gauss. Incluye además un módulo puente de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) para preparar asignaturas posteriores.

Cada lección es breve y autocontenida, lo que facilita el aprendizaje con vídeos cortos y la asimilación progresiva. El objetivo es consolidar una base sólida que permita avanzar con seguridad hacia cursos más avanzados de Ecuaciones Diferenciales, Métodos Numéricos o Modelización Matemática.

Dominar límites, continuidad y diferenciabilidad en varias variables.
Aplicar derivadas parciales y gradiente a problemas de optimización y aproximación.
Calcular integrales dobles y triples en diferentes sistemas de coordenadas y con cambios de variable.
Interpretar y resolver integrales de línea y superficie con aplicaciones geométricas y físicas.
Comprender y aplicar los teoremas de Green, Stokes y Gauss en contextos reales.
Introducirse en ecuaciones diferenciales ordinarias básicas como puente hacia cursos avanzados.

Contenido del curso

Módulo 1: Repaso y herramientas en R^n
Vectores, rectas, planos y sistemas de coordenadas como base para el análisis multivariable.

Lección 1.1: Vectores en R^n, norma y productos (escalar y vectorial)
Lección 1.2: Rectas y planos: ecuaciones y distancias
Lección 1.3: Sistemas de coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas
Lección 1.4: Curvas y superficies parametrizadas

Módulo 2: Funciones de varias variables, límites y continuidad
Generalización de funciones, límites y continuidad a varias variables, con ejemplos y contraejemplos.

Módulo 3: Derivadas parciales y diferenciabilidad
Derivadas parciales y direccionales, gradiente y criterio de diferenciabilidad.

Módulo 4: Taylor multivariable y aproximación local
Expansiones de Taylor multivariable y aproximaciones mediante el Hessiano.

Módulo 5: Extremos y optimización con restricciones
Extremos locales y absolutos, con y sin restricciones, mediante multiplicadores de Lagrange.

Módulo 6: Operadores diferenciales y campos
Gradiente, divergencia, rotacional y Laplaciano; significado geométrico y físico.

Módulo 7: Integrales dobles (I): definición y Fubini
Construcción de la integral doble y cálculo en regiones sencillas mediante Fubini.

Módulo 8: Integrales dobles (II): cambio de variable
Uso del jacobiano en el cambio de variable para integrales dobles.

Módulo 9: Integrales triples
Definición e interpretación de integrales triples en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Módulo 10: Aplicaciones de integrales múltiples
Uso de integrales múltiples en volumen, densidad, centro de masas y momentos de inercia.

Módulo 11: Curvas y superficies especiales (complementos)
Repertorio de curvas y superficies típicas que facilitan la visualización y el cálculo posterior.

Módulo 12: Integrales de línea
Integración de campos escalares y vectoriales a lo largo de curvas.

Módulo 13: Integrales de superficie
Cálculo de áreas y flujos de campos vectoriales mediante integrales de superficie.

Módulo 14: Teoremas integrales
Green, Stokes y Gauss: unificación de derivadas e integrales.

Módulo 15: Ecuaciones diferenciales ordinarias (puente)
Introducción a las EDOs como preparación a cursos posteriores.

Acerca de este curso

¿Qué aprenderás?

Contenido del curso

Módulo 1: Repaso y herramientas en R^n Vectores, rectas, planos y sistemas de coordenadas como base para el análisis multivariable.

Lección 1.1: Vectores en R^n, norma y productos (escalar y vectorial)

Lección 1.2: Rectas y planos: ecuaciones y distancias

Lección 1.3: Sistemas de coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas

Lección 1.4: Curvas y superficies parametrizadas

Módulo 2: Funciones de varias variables, límites y continuidad Generalización de funciones, límites y continuidad a varias variables, con ejemplos y contraejemplos.

Lección 2.1: Funciones R^n->R; gráficas y conjuntos de nivel

Lección 2.2: Límites y continuidad en varias variables

Lección 2.3: Estrategias para calcular límites

Lección 2.4: Discontinuidades típicas y contraejemplos

Módulo 3: Derivadas parciales y diferenciabilidad Derivadas parciales y direccionales, gradiente y criterio de diferenciabilidad.

Lección 3.1: Derivadas parciales y direccionales; gradiente

Lección 3.2: Diferenciabilidad y plano tangente

Lección 3.3: Regla de la cadena en varias variables

Lección 3.4: Teoremas de la función inversa e implícita (visión operativa)

Módulo 4: Taylor multivariable y aproximación local Expansiones de Taylor multivariable y aproximaciones mediante el Hessiano.

Lección 4.1: Derivadas de orden superior y matriz Hessiana

Lección 4.2: Polinomio de Taylor multivariable

Lección 4.3: Cotas del resto y estimación de error

Módulo 5: Extremos y optimización con restricciones Extremos locales y absolutos, con y sin restricciones, mediante multiplicadores de Lagrange.

Lección 5.1: Puntos críticos y clasificación con el Hessiano

Lección 5.2: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange

Lección 5.3: Extremos absolutos en dominios cerrados

Módulo 6: Operadores diferenciales y campos Gradiente, divergencia, rotacional y Laplaciano; significado geométrico y físico.

Lección 6.1: Grad, div y rot: definiciones y propiedades

Lección 6.2: Operadores en polares, cilíndricas y esféricas

Lección 6.3: Campos conservativos y potencial escalar

Módulo 7: Integrales dobles (I): definición y Fubini Construcción de la integral doble y cálculo en regiones sencillas mediante Fubini.

Lección 7.1: Definición de integral doble y propiedades

Lección 7.2: Teorema de Fubini y regiones tipo I/II

Lección 7.3: Cambio de orden de integración

Lección 7.4: Aplicaciones geométricas simples (áreas y masas planas)

Módulo 8: Integrales dobles (II): cambio de variable Uso del jacobiano en el cambio de variable para integrales dobles.

Lección 8.1: Cambio de variable y jacobiano en 2D

Lección 8.2: Aplicaciones en regiones circulares y elípticas

Lección 8.3: Funciones definidas por integrales y regla de Leibniz

Módulo 9: Integrales triples Definición e interpretación de integrales triples en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Lección 9.1: Definición e interpretación de la integral triple

Lección 9.2: Cambio de variable: coordenadas cilíndricas

Lección 9.3: Cambio de variable: coordenadas esféricas

Módulo 10: Aplicaciones de integrales múltiples Uso de integrales múltiples en volumen, densidad, centro de masas y momentos de inercia.

Lección 10.1: Volúmenes por integrales múltiples

Lección 10.2: Masa total y centro de masas

Lección 10.3: Momentos de inercia y aplicaciones en física

Módulo 11: Curvas y superficies especiales (complementos) Repertorio de curvas y superficies típicas que facilitan la visualización y el cálculo posterior.

Lección 11.1: Curvas notables y campos asociados

Lección 11.2: Superficies de revolución y cuádricas

Lección 11.3: Trazas, secciones y simetrías

Módulo 12: Integrales de línea Integración de campos escalares y vectoriales a lo largo de curvas.

Lección 12.1: Integrales de línea de campos escalares (longitud de arco)

Lección 12.2: Integrales de línea de campos vectoriales (trabajo y circulación)

Lección 12.3: Campos conservativos y existencia de potencial

Lección 12.4: Independencia del camino

Módulo 13: Integrales de superficie Cálculo de áreas y flujos de campos vectoriales mediante integrales de superficie.

Lección 13.1: Superficies parametrizadas y área

Lección 13.2: Integrales de superficie de campos escalares

Lección 13.3: Integrales de superficie de campos vectoriales (flujo y propiedades)

Lección 13.4: Orientación y consistencia de normales

Módulo 14: Teoremas integrales Green, Stokes y Gauss: unificación de derivadas e integrales.

Lección 14.1: Teorema de Green en el plano

Lección 14.2: Teorema de Stokes en superficies

Lección 14.3: Teorema de la divergencia (Gauss-Ostrogradski)

Lección 14.4: Conexiones y aplicaciones combinadas

Módulo 15: Ecuaciones diferenciales ordinarias (puente) Introducción a las EDOs como preparación a cursos posteriores.

Lección 15.1: EDO de 1er orden: separables y lineales

Lección 15.2: Existencia y unicidad (visión práctica)

Lección 15.3: EDO lineales de 2º orden con coeficientes constantes

Lección 15.4: Aplicaciones físicas (oscilador armónico, circuitos RC/RLC básicos)

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