Métodos Matemáticos

Acerca de este curso

Métodos Matemáticos es un curso troncal para Física e Ingenierías que reúne las herramientas empleadas en la modelización y resolución de problemas. Cubre ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, análisis complejo, series y transformadas de Fourier, transformada de Laplace, problemas de contorno, funciones especiales y técnicas de Green. Introduce el cálculo de variaciones y los métodos numéricos.

Las lecciones son breves y autocontenidas, adaptadas al formato en vídeo y al estudio guiado, con un progreso claro. El objetivo es una base sólida en técnicas matemáticas que permita afrontar con seguridad asignaturas posteriores de física teórica, ingeniería aplicada y modelización avanzada.

Modelizar sistemas físicos y de ingeniería y traducirlos a ecuaciones diferenciales.
Resolver EDO de primer orden y de orden superior (y sistemas) con técnicas analíticas y cualitativas.
Usar variable compleja (Cauchy, residuos) para calcular integrales y series de forma eficiente.
Descomponer señales y soluciones en series/transformadas de Fourier y aplicar transformada de Laplace.
Plantear y resolver EDP clásicas (calor, ondas, Laplace) por separación de variables y Sturm–Liouville.
Aplicar funciones de Green, funciones especiales y nociones numéricas/variacionales en problemas reales.

Contenido del curso

Módulo 1: Repaso y herramientas de modelización
Aterrizaje rápido: notación, escalas, dimensionalidad y del fenómeno al modelo. Conceptos de planteamiento correcto.

Lección 1.1: Modelización básica: de la ley física a la ecuación
Lección 1.2: Dimensionalidad, unidades y escalas; adimensionalización
Lección 1.3: Repaso exprés de cálculo y álgebra necesarios
Lección 1.4: Bien planteado vs. mal planteado (existencia, unicidad, estabilidad)

Módulo 2: EDO de primer orden y cualitativas
Técnicas elementales y lectura cualitativa de soluciones para construir intuición.

Módulo 3: EDO lineales de orden superior
Ecuaciones lineales con coeficientes constantes y variables: técnicas generales.

Módulo 4: Sistemas lineales de EDO
Sistemas n×n: análisis espectral, exponencial de matrices y estabilidad.

Módulo 5: Variable compleja (I)
Fundamentos del análisis complejo: analiticidad e integración compleja.

Módulo 6: Variable compleja (II) — Aplicaciones
Uso de residuos y contornos para integrales reales y sumas.

Módulo 7: Series de Fourier y ortogonalidad
Base para separación de variables y análisis espectral.

Módulo 8: Transformadas (Fourier y Laplace)
Herramientas para EDP, filtrado y sistemas lineales.

Módulo 9: EDP — Fundamentos y clasificación
Tipos de EDP y condiciones de contorno; marco para calor, ondas y Laplace.

Módulo 10: Separación de variables y Sturm–Liouville
Técnica estándar en dominios simples; bases propias y expansión.

Módulo 11: Funciones especiales en física matemática
Bessel, Legendre y Hermite surgen de problemas con simetrías; propiedades clave.

Módulo 12: Green y convolución para EDO/EDP
Soluciones mediante funciones de Green; interpretación como respuesta impulsiva.

Módulo 13: Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
Adaptar el sistema de coordenadas a la geometría del problema.

Módulo 14: Introducción al cálculo de variaciones
Principio variacional y ecuaciones de Euler–Lagrange con ejemplos canónicos.

Módulo 15: Métodos numéricos básicos para EDO/EDP
Cuando no hay forma cerrada: discretización, estabilidad y verificación.

Acerca de este curso

¿Qué aprenderás?

Contenido del curso

Módulo 1: Repaso y herramientas de modelización Aterrizaje rápido: notación, escalas, dimensionalidad y del fenómeno al modelo. Conceptos de planteamiento correcto.

Lección 1.1: Modelización básica: de la ley física a la ecuación

Lección 1.2: Dimensionalidad, unidades y escalas; adimensionalización

Lección 1.3: Repaso exprés de cálculo y álgebra necesarios

Lección 1.4: Bien planteado vs. mal planteado (existencia, unicidad, estabilidad)

Módulo 2: EDO de primer orden y cualitativas Técnicas elementales y lectura cualitativa de soluciones para construir intuición.

Lección 2.1: EDO de primer orden: separables, lineales, exactas

Lección 2.2: Sustituciones y ecuaciones de Bernoulli / Riccati (casos manejables)

Lección 2.3: Campos de direcciones, isoclinas y diagramas de fase (1D)

Lección 2.4: Problemas con condiciones iniciales: existencia y unicidad (idea)

Módulo 3: EDO lineales de orden superior Ecuaciones lineales con coeficientes constantes y variables: técnicas generales.

Lección 3.1: EDO lineales homogéneas: ecuación característica y multiplicidad

Lección 3.2: No homogéneas: coeficientes indeterminados y variación de constantes

Lección 3.3: Resonancia y estabilidad de soluciones

Lección 3.4: Operadores diferenciales y formulación operativa

Módulo 4: Sistemas lineales de EDO Sistemas n×n: análisis espectral, exponencial de matrices y estabilidad.

Lección 4.1: Sistemas homogéneos: autovalores/autovectores

Lección 4.2: Exponencial de matrices y diagonalización

Lección 4.3: Sistemas no homogéneos y variación de constantes

Lección 4.4: Estabilidad y clasificación cualitativa (nodos, focos, sillas)

Módulo 5: Variable compleja (I) Fundamentos del análisis complejo: analiticidad e integración compleja.

Lección 5.1: Números complejos y funciones analíticas; Cauchy–Riemann

Lección 5.2: Teorema integral de Cauchy y fórmula de Cauchy

Lección 5.3: Series de potencias y de Laurent; singularidades

Lección 5.4: Residuos: cálculo eficiente e ideas de aplicación

Módulo 6: Variable compleja (II) — Aplicaciones Uso de residuos y contornos para integrales reales y sumas.

Lección 6.1: Teorema de residuos en acción: contornos tipo I

Lección 6.2: Contornos tipo II: semicírculos y hendiduras (log y raíces)

Lección 6.3: Cálculo de integrales impropias reales con compleja

Lección 6.4: Sumas mediante residuos (ideas básicas)

Módulo 7: Series de Fourier y ortogonalidad Base para separación de variables y análisis espectral.

Lección 7.1: Ortogonalidad y series trigonométricas (paridad, periodización)

Lección 7.2: Convergencia clásica y en L² (ideas)

Lección 7.3: Extensiones impar/par y condiciones de contorno

Lección 7.4: Series de Fourier a trozos y fenómeno de Gibbs

Módulo 8: Transformadas (Fourier y Laplace) Herramientas para EDP, filtrado y sistemas lineales.

Lección 8.1: Transformada de Fourier: propiedades y convolución

Lección 8.2: Transformada discreta y muestreo (visión conceptual)

Lección 8.3: Transformada de Laplace: tablas y propiedades

Lección 8.4: Aplicaciones de Laplace a EDO con valores iniciales

Módulo 9: EDP — Fundamentos y clasificación Tipos de EDP y condiciones de contorno; marco para calor, ondas y Laplace.

Lección 9.1: Bien planteamiento y tipos (hiperbólica, parabólica, elíptica)

Lección 9.2: EDP de primer orden: método de características (visión base)

Lección 9.3: Clásicas de segundo orden en Física

Lección 9.4: Condiciones iniciales y de contorno, unicidad

Módulo 10: Separación de variables y Sturm–Liouville Técnica estándar en dominios simples; bases propias y expansión.

Lección 10.1: Separación de variables en dominios rectangulares

Lección 10.2: Problemas propios y ortogonalidad (Sturm–Liouville)

Lección 10.3: Desarrollo en autofunciones: coeficientes y convergencia

Lección 10.4: No homogeneidad y términos fuente

Módulo 11: Funciones especiales en física matemática Bessel, Legendre y Hermite surgen de problemas con simetrías; propiedades clave.

Lección 11.1: Bessel: raíces, ortogonalidad y aplicaciones cilíndricas

Lección 11.2: Legendre y asociados: armónicos esféricos (idea)

Lección 11.3: Hermite: oscilador y calor en ℝ

Lección 11.4: Propiedades operativas y tablas útiles

Módulo 12: Green y convolución para EDO/EDP Soluciones mediante funciones de Green; interpretación como respuesta impulsiva.

Lección 12.1: Idea de Green en 1D: construcción y condiciones de borde

Lección 12.2: Convolución temporal y espacial; interpretación física

Lección 12.3: Green para calor/ondas en dominios simples

Lección 12.4: Conexiones con transformadas (Fourier/Laplace)

Módulo 13: Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas Adaptar el sistema de coordenadas a la geometría del problema.

Lección 13.1: Laplace en polares: potenciales en 2D

Lección 13.2: Cilíndricas: calor/ondas y Bessel

Lección 13.3: Esféricas: armónicos y separación radial-angular

Lección 13.4: Condiciones de contorno típicas (Dirichlet/Neumann/Robin)

Módulo 14: Introducción al cálculo de variaciones Principio variacional y ecuaciones de Euler–Lagrange con ejemplos canónicos.

Lección 14.1: Funcionales y condición necesaria de óptimo

Lección 14.2: Ecuación de Euler–Lagrange; ejemplos

Lección 14.3: Restricciones (multiplicadores) y condiciones de contorno

Lección 14.4: Conexión con leyes físicas (visión conceptual)

Módulo 15: Métodos numéricos básicos para EDO/EDP Cuando no hay forma cerrada: discretización, estabilidad y verificación.

Lección 15.1: EDO: Euler, Heun, Runge–Kutta y control de paso

Lección 15.2: Consistencia, estabilidad y convergencia (nociones)

Lección 15.3: Esquemas en diferencias para calor/ondas (1D)

Lección 15.4: Errores, condicionamiento y verificación

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