Paradojas en Matemáticas

Acerca de este curso

Paradojas en Matemáticas ofrece un recorrido completo por los enigmas que desafían la intuición y la lógica formal: autorreferencia, infinito, probabilidad, estadística, geometría, teoría de conjuntos y decisión colectiva. Verás cómo surgen, qué revelan sobre los modelos y qué soluciones ofrecen diferentes marcos lógicos.

Las lecciones son breves y autocontenidas, diseñadas para vídeos y ejercicios guiados, con progresión clara desde paradojas históricas hasta desarrollos contemporáneos. El objetivo es entrenar la precisión, potenciar el pensamiento crítico y comprender cómo las paradojas han impulsado la formalización moderna .

Reconocer y clasificar paradojas (verídicas, falsídicas, antinomias).
Analizar autorreferencia: Liar, Curry, Yablo, Berry, Richard.
Comprender infinito, medida y elección: Vitali, Hausdorff, Banach–Tarski.
Modelar paradojas de probabilidad y estadística (Bertrand, Simpson, dos sobres).
Entender efectos contraintuitivos en decisión y redes (Condorcet, Arrow, Parrondo, Braess).
Aplicar métodos de “autopsia” para detectar hipótesis ocultas y resolver ambigüedades.

Contenido del curso

Módulo 1. Qué es (y qué no es) una paradoja
Tipos de paradoja (verídicas, falsídicas, antinomias), método de análisis y panorama histórico.

Lección 1.1. Tipología: verídicas, falsídicas y antinomias
Lección 1.2. Autopsia de una paradoja: hipótesis ocultas
Lección 1.3. Paradoja vs. falacia vs. ilusión
Lección 1.4. Historia mínima: de Eubúlides a Quine y Gardner
Lección 1.5. Laboratorio: redactar (y depurar) una paradoja

Módulo 2. Autorreferencia I: verdad y el mentiroso
La familia del Mentiroso y respuestas modernas: jerarquías de lenguaje y esquemas de verdad.

Módulo 3. Autorreferencia II: sin bucle explícito
Paradojas sin referencia directa: Yablo, Curry y definicionales (Berry, Richard, Grelling–Nelson).

Módulo 4. Vaguedad y sorites
El ‘montón’ (sorites), tolerancia y respuestas: supervaloraciones, epistemicismo y lógicas difusas.

Módulo 5. Conjuntos y fundamentos: cuando ‘todo’ es demasiado
Paradojas de la teoría ingenua y la reparación axiomática (ZF/ZFC) y el fenómeno de Skolem.

Módulo 6. Infinito I: procesos infinitos y supertareas
Hilbert, Ross–Littlewood y la lámpara de Thomson; órdenes y límites.

Módulo 7. Infinito II: medida, elección y descomposiciones
No medibilidad (Vitali), Hausdorff y Banach–Tarski; papel del Axioma de Elección.

Módulo 8. Análisis y geometría contraintuitivos
De Zenón al ‘cuerno de Gabriel’; reordenación de series y rompecabezas visuales.

Módulo 9. Probabilidad I: paradojas clásicas
Modelos y errores de intuición: Monty Hall, Bertrand, Borel‑Kolmogórov y San Petersburgo.

Módulo 10. Probabilidad II y estadística
Simpson, paradojas de muestreo y condicionamiento (boy‑girl, Tuesday), Sleeping Beauty y dos sobres.

Módulo 11. Decisión, juegos y redes
Condorcet y Arrow (votación), Newcomb (decisión), Parrondo (juegos) y Braess (redes).

Módulo 12. Falsidicias de aula y lenguaje
‘Demostraciones’ de 1=2, raíces multivaluadas, inducciones rotas y cómo detectarlas.

Módulo 13. Cierres y fronteras
Qué enseñan las paradojas sobre modelos, verdad y prueba; rutas avanzadas.

Acerca de este curso

¿Qué aprenderás?

Contenido del curso

Módulo 1. Qué es (y qué no es) una paradoja Tipos de paradoja (verídicas, falsídicas, antinomias), método de análisis y panorama histórico.

Lección 1.1. Tipología: verídicas, falsídicas y antinomias

Lección 1.2. Autopsia de una paradoja: hipótesis ocultas

Lección 1.3. Paradoja vs. falacia vs. ilusión

Lección 1.4. Historia mínima: de Eubúlides a Quine y Gardner

Lección 1.5. Laboratorio: redactar (y depurar) una paradoja

Módulo 2. Autorreferencia I: verdad y el mentiroso La familia del Mentiroso y respuestas modernas: jerarquías de lenguaje y esquemas de verdad.

Lección 2.1. ‘Este enunciado es falso’: análisis clásico

Lección 2.2. Jerarquías de lenguaje y verdad parcial

Lección 2.3. Tarski: indefinibilidad de la verdad (idea central)

Lección 2.4. Paradojas de venganza y límites de las soluciones

Módulo 3. Autorreferencia II: sin bucle explícito Paradojas sin referencia directa: Yablo, Curry y definicionales (Berry, Richard, Grelling–Nelson).

Lección 3.1. Yablo: la autorreferencia ‘a distancia’

Lección 3.2. Curry: implicación que explota

Lección 3.3. Berry y Richard: ‘definible’ y diagonalización

Lección 3.4. Grelling–Nelson: autológico y heterológico

Módulo 4. Vaguedad y sorites El ‘montón’ (sorites), tolerancia y respuestas: supervaloraciones, epistemicismo y lógicas difusas.

Lección 4.1. Estructura del sorites y sus supuestos

Lección 4.2. Supervaloraciones y epistemicismo

Lección 4.3. Lógicas difusas y umbrales

Lección 4.4. Diseñar (buenos) ejemplos de sorites

Módulo 5. Conjuntos y fundamentos: cuando ‘todo’ es demasiado Paradojas de la teoría ingenua y la reparación axiomática (ZF/ZFC) y el fenómeno de Skolem.

Lección 5.1. Russell y comprensión restringida

Lección 5.2. Burali‑Forti y Cantor

Lección 5.3. Axiomática ZF/ZFC: qué cambia

Lección 5.4. La ‘paradoja’ de Skolem y los modelos

Módulo 6. Infinito I: procesos infinitos y supertareas Hilbert, Ross–Littlewood y la lámpara de Thomson; órdenes y límites.

Lección 6.1. Hotel de Hilbert y cardinalidad

Lección 6.2. Urnas de Ross–Littlewood

Lección 6.3. Lámpara de Thomson

Lección 6.4. Órdenes (ω) y nociones de límite

Módulo 7. Infinito II: medida, elección y descomposiciones No medibilidad (Vitali), Hausdorff y Banach–Tarski; papel del Axioma de Elección.

Lección 7.1. Vitali y conjuntos no medibles

Lección 7.2. Paradoja de Hausdorff

Lección 7.3. Banach–Tarski: duplicar una esfera

Lección 7.4. Medida moderna: qué salva y qué no

Módulo 8. Análisis y geometría contraintuitivos De Zenón al ‘cuerno de Gabriel’; reordenación de series y rompecabezas visuales.

Lección 8.1. Zenón: del argumento al cálculo

Lección 8.2. Cuerno de Gabriel (área ∞, volumen finito)

Lección 8.3. Reordenación de series (Riemann)

Lección 8.4. El ‘missing square’ y líneas que no lo son

Módulo 9. Probabilidad I: paradojas clásicas Modelos y errores de intuición: Monty Hall, Bertrand, Borel‑Kolmogórov y San Petersburgo.

Lección 9.1. Monty Hall bien (y mal) modelado

Lección 9.2. Bertrand: azar en continuo

Lección 9.3. Borel‑Kolmogórov: condicionar con cuidado

Lección 9.4. San Petersburgo y utilidad esperada

Módulo 10. Probabilidad II y estadística Simpson, paradojas de muestreo y condicionamiento (boy‑girl, Tuesday), Sleeping Beauty y dos sobres.

Lección 10.1. Simpson: agregación vs. estratos

Lección 10.2. Paradojas de inspección/espera en colas

Lección 10.3. Boy‑girl y variantes

Lección 10.4. Sleeping Beauty y el problema de los dos sobres

Módulo 11. Decisión, juegos y redes Condorcet y Arrow (votación), Newcomb (decisión), Parrondo (juegos) y Braess (redes).

Lección 11.1. Ciclos de Condorcet

Lección 11.2. Teorema de imposibilidad de Arrow

Lección 11.3. Newcomb: dominancia vs. evidencia

Lección 11.4. Parrondo y Braess: sumar pierde, añadir congestiona

Módulo 12. Falsidicias de aula y lenguaje ‘Demostraciones’ de 1=2, raíces multivaluadas, inducciones rotas y cómo detectarlas.

Lección 12.1. Dividir por cero y otras trampas

Lección 12.2. Potencias/raíces complejas y ramas

Lección 12.3. Inducciones defectuosas (caballos)

Lección 12.4. Diseñar falacias para enseñar rigor

Módulo 13. Cierres y fronteras Qué enseñan las paradojas sobre modelos, verdad y prueba; rutas avanzadas.

Lección 13.1. Paradojas como motor de axiomatización

Lección 13.2. Verdad revisional y paraconsistencia

Lección 13.3. De paradojas a indecidibilidad

Lección 13.4. Mini‑proyecto: una paradoja, tres modelos

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